Аннуитетные платежи онлайн

Наращенная стоимость финансовой ренты постнумерандо – краткая теория и задачи. Примеры решения задач по финансовой математике онлайн.

4.1. Характеристики потоков платежей

4.1.1. Основные понятия

Операции с отдельными денежными суммами лежат в основе более сложных операций — операций с последовательностями таких сумм, распределенных во времени, т. е. с потоками платежей.

Потоком платежей называется последовательность денежных сумм, приуроченных к определенным моментам времени. Отдельные денежные суммы, являющиеся членами последовательности, называются членами потока.

Потоки возникают, например, при реализации инвестиционного проекта, при погашении задолженности в рассрочку, при получении доходов по акциям или другим ценным бумагам, при выплате пенсий и т. д. 

Потоки платежей классифицируются на регулярные и нерегулярные. Варианты потоков графически представлены на рис. 4.1-4.3.

В нерегулярном потоке временные интервалы между членами потока могут иметь различную продолжительность. Кроме того, члены такого потока могут иметь различные знаки. Положительные члены обычно соответствуют поступлениям денежных сумм, отрицательные — затратам.

В регулярном потоке промежутки времени между соседними выплатами имеют одинаковую длину и члены потока имеют один знак. Регулярные потоки называются также финансовыми рентами.

4_1.gif

Рис. 4.1. Нерегулярный поток платежей

4_2.gif

Рис. 4.2. Регулярный поток платежей (случай постоянной финансовой ренты)

4_3.gif

Рис. 4.3. Регулярный поток платежей (случай переменной финансовой ренты)

Отметим, что члены финансовой ренты в общем случае могут различаться по своей величине. Если они одинаковы, то говорят о постоянной финансовой ренте. Если различаются, — то о переменной финансовой ренте. Эти различия могут подчиняться какой-нибудь закономерности (например, ренты с постоянным абсолютным или относительным приростом членов) или быть несистематическими.

К основным параметрам, характеризующим ренту, относятся:

  • член ренты  — размер отдельного платежа;
  • период ренты  — длина интервала времени между соседними платежами;
  • срок ренты  — длина промежутка времени от начала первого периода до конца последнего периода;
  • процентная ставка  — та величина процентной ставки, на основе которой проводится анализ ренты.

При анализе конкретных рент используются и другие характеристики и параметры, например периодичность начисления процентов (при начислении несколько раз в году), вероятность выплаты (если речь идет о страховых платежах) и др. 

Ренты могут иметь заранее оговоренный срок или не иметь такого срока. В последнем случае говорят о вечной ренте.

Ренты различаются по моменту выплат в пределах периода. Если платежи приурочены к концу периодов, то рента называется рентой постнумерандо (а также обыкновенной рентой). Если же платежи приурочены к началу периодов, то рента называется рентой пренумерандо.

4.1.2. Обобщающие характеристики потоков платежей

Два финансовых потока могут быть по-разному распределены во времени, иметь различную продолжительность, различное число членов, различаться величиной членов.

Их сопоставление, анализ, выбор варианта потока проводится на основе обобщающих характеристик, позволяющих свести все разнообразие потоков к небольшому числу базовых показателей.

К основной характеристике потока относится его приведенная стоимость (приведенная оценка). Она позволяет «свернуть» весь распределенный во времени поток в одно число.

Под приведенной стоимостью понимается сумма всех членов потока с начисленными процентами, приведенная (дисконтированная) к какому-то заданному моменту времени. Обычно в качестве такого момента времени выбирают момент начала первого периода потока или момент окончания его последнего периода. В первом случае говорят о современной стоимости (современной оценке) потока, во втором — о наращенной стоимости (наращенной сумме) потока.

Иногда современную оценку потока привязывают не к его началу, а к некоторому более раннему моменту времени. Например, если сегодня анализируются потоки по вариантам инвестиционных проектов, реализация которых должна начаться через некоторое время, то современную оценку привязывают обычно не к началу потоков (у разных вариантов может быть разный начальный момент), а к сегодняшнему дню.

4.1.3. Расчет приведенной стоимости потока

Сформулируем определение приведенной стоимости потока в общем случае.

Пусть поток состоит из членов Rk, приуроченных к моментам времени tk. Определим стоимость этого потока, приведенную к произвольному моменту времени t. 

Рассмотрим произвольный член потока Rk. Если соответствующий ему момент времени tk наступает раньше момента приведения t, 

tk < t, 

то при пересчете оценки величины Rk на момент t ее следует увеличить, умножив на коэффициент роста, равный 4-1.gif. Этот коэффициент показывает, во сколько раз изменится величина Rk по сложной процентной ставке i за время (t — tk), отделяющее момент tk от момента t. 

Другими словами, если бы денежную сумму Rk положить на депозитный счет с условиями начисления сложных процентов по ставке i, то за время (t — tk) величина Rk выросла бы до величины Rk4-1.gif. Показатель степени положительный, так что коэффициент больше 1, величина Rk при умножении увеличивается.

Если же момент времени tk наступает позже момента t, 

tk > t,

то при пересчете оценки величины Rk на момент t ее надо умножить на соответствующий коэффициент дисконтирования. Формула для этого коэффициента та же, что и для прежнего коэффициента роста, т. е. 4-1.gif. Однако показатель степени теперь отрицательный, так что коэффициент автоматически окажется менее 1. Величина Rk при умножении на такой коэффициент уменьшается.

Таким образом, независимо от того, как взаимно расположены моменты t и tk, при приведении члена потока Rk к моменту t его следует умножить на одно и то же выражение, равное 4-1.gif.

В одной ситуации это приводит к увеличению Rk, в другой — к уменьшению. Во всех ситуациях это приводит к корректному пересчету величины Rk, к ее приведению на момент времени t. 

Приведенная стоимость всего потока St, приведенная на момент времени t по сложной процентной ставке i, определяется суммой результатов приведения всех членов потока, т. е. формулой

4-4.gif

Формула позволяет определить приведенную стоимость потока для любого момента времени t. В частности, если t — момент начала потока, то эта формула определяет современную стоимость потока. Если же t — момент окончания срока потока, формула определяет наращенную сумму потока.

4.1.4. Связь между результатами приведения к разным моментам времени

Рассмотрим, как изменяется величина приведенной стоимости при приведении к другому моменту.

Пусть t — другой момент приведения. Тогда при приведении к моменту t получим величину:

4-5.gif

Величины St и St связаны соотношением

4-6.gif

Рассмотрим отношение приведенных оценок:

4-7.gif

Отсюда получаем, что при приведении к более позднему моменту величина приведенной стоимости окажется больше. Действительно, если

t> t ,

то

4-8.gif

откуда следует, что

St > St.

Отношение приведенных оценок St / St выражается величиной, не зависящей от конкретного потока. Она зависит лишь от разности (t — t) моментов приведения и от выбранной для приведения процентной ставки i. 

Это позволяет сравнивать различные потоки по их приведенной стоимости безотносительно к выбору конкретного момента приведения.

Действительно, пусть 4-9.gif и 4-10.gif — стоимости двух потоков при их приведении к моменту t, а 4-11.gif и 4-12.gif — стоимости тех же потоков при их приведении к моменту t. Тогда отношения этих оценок равны:

4-13.gif

Если приведенная стоимость одного потока оказалась в m раз больше приведенной стоимости другого при приведении обоих потоков к какому-то одному моменту времени, то это же соотношение между потоками сохранится и при приведении к любому другому моменту времени.

Схема постнумерандо

Рента обычная или постнумерандо: платежи производятся в конце периода.
Современная стоимость потока платежей А – это сумма всех выплат, дисконтированных на начало срока этого потока.

Количество платежей Количество начислений S A
p=1 m=1 R·(1+j)n1j R·1(1+j)nj
m>1 R·(1+jm)m·n1(1+jm)m1 R·1(1+jm)m·n(1+jm)m1
p>1 m=1 Rp·(1+j)n1(1+j)1p1 Rp·1(1+j)n(1+j)1p1
m=p R·(1+jm)m·n1j R·1(1+jm)m·nj
m≠p Rp·(1+jm)m·n1(1+jm)mp1 Rp·1(1+jm)m·n(1+jm)mp1

Примеры задач по схеме постнумерандо

Выберите необходимый вид задачи (кнопка Решить) и заполните требуемые поля.

  1. Определить современную стоимость и наращенную сумму аннуитета постнумерандо. Срок ренты n пять лет, разовый платеж R = 4000 руб. вносится ежегодно. На поступившие взносы начисляются проценты по сложной ставке j = 8% годовых.
    Решить аналогичную
    Платежи поступают в начале года (схема пренумерандо), периодичность взноса ренты p =1, проценты начсляются раз в год, m = 1.
    Будущая (наращенная) стоимость ренты: S=R·(1+j)n1j
    S=4 000·(1+0,08)510,08 = 23 466,40 руб.
    Современная стоимость аннуитета: A=R·1(1+j)nj
    A=4 000·1(1+0,08)50,08 = 15 970,84 руб.
  2. Фирма предполагает создать специальный фонд в размере 200 тыс.руб., для чего будет вносить в банк 50 тыс.руб. под 15% годовых. Определить срок, необходимый для создания фонда.
    Решить аналогичную
    Найдем срок аннуитета: n=ln(SR·i+1)ln(1+i)
    n=ln(20050·0,15+1)ln(1+0,15) = 3,363 года

4.3. Платежи и проценты

4.3.1. Учет особенностей начисления процентов

Рассмотрим ситуацию, когда проценты на члены ренты начисляются не один, а несколько раз за период поступления платежей.

Пусть на поступающие члены постоянной ежегодной ренты постнумерандо начисляются проценты m раз в году (например, ежеквартально). Рассмотрим два варианта перевода годовой ставки в квартальную.

1. Пусть перевод годовой ставки i в квартальную j происходит по формуле сложной процентной ставки, т. е. по формуле

4-32.gif

В общем случае, при разделении года на m равных периодов, эта формула имеет вид

4-34.gif

В таком случае ставка i и ставка j корректно согласованы друг с другом, и все расчетные формулы, связанные с рентой, остаются прежними.

2. Пусть перевод годовой ставки i в квартальную j происходит по формуле простой процентной ставки, т. е. по формуле

j = i/4 

или, в случае разделения года на m периодов, по формуле

j = i/m.

В этой ситуации множитель роста вклада за год равен величине

4-35.gif

При построении приведенной оценки ренты ее члены, как и в первоначальном случае, образуют геометрическую прогрессию, но с другим знаменателем — со знаменателем, равным множителю роста. Таким образом, для наращенной суммы получаем:

4-36.gif

Для современной стоимости потока получаем формулу

4-37.gif

4.3.2. Учет особенностей поступления платежей

Мы рассмотрели вариант, когда период начисления процентов меньше периода поступления платежей. Рассмотрим теперь противоположный случай, когда период поступления платежей меньше периода начисления процентов.

Пусть проценты начисляются ежегодно, а платежи поступают равными взносами, периодически, p раз в году (например, ежемесячно). Если годовая сумма платежей по-прежнему равна R, то отдельный платеж равен теперь величине R / p. Общее число членов ренты за n лет равно теперь nxp.

На каждый член ренты при определении наращенной суммы начисляются проценты за весь период времени, оставшийся до конца срока ренты.

Последовательность членов такой ренты с начисленными процентами опять является геометрической прогрессией. Первый член прогрессии (считая, как и раньше, от конца поступления платежей) равен R / p. Число членов равно np. Знаменатель прогрессии есть

4-38.gif

Наращенная сумма S есть сумма членов этой прогрессии Она определяется формулой

4-39.gif

Современная стоимость ренты определяется формулой

4-40.gif

4.3.3. Учет особенностей начисления процентов и поступления платежей

Рассмотрим вариант ренты, когда и начисление процентов, и поступление платежей происходят несколько раз в году. Обычно в таких ситуациях оба события происходят с одинаковой периодичностью. Например, рентные платежи поступают ежемесячно, и начисление процентов происходит также ежемесячно.

Расчеты по такой ренте сводятся к расчетам по первоначальной формуле с заменой годового периода новым периодом (например, месячным). При этом число членов ренты кратно числу лет, а процентная ставка изменяется в соответствии с новым периодом.

p-срочная рента (p=m)

На практике часто встречаются случаи, когда число выплат в годуравно числу начислений процентов, то есть когда 100task.ru.

100task.ru

 5.5 Зависимость между современнойвеличиной  и наращенной суммой ренты

         Пусть A – современная величина годовой ренты постнумерандо, а S– ее наращенная стоимость к концу срока n, p=1, m=1.

Покажем, что наращениепроцентов на сумму A за  nлет дает сумму, равную S:

          (1.11)

Отсюда же следует, чтодисконтирование S даетA:

,                                                                         (1.12)

а коэффициент дисконтирования и наращения рентысвязаны соотношениями:

                                                     (1.13)

.                                                           (1.14)

Библиография

  1. Бригхем Ю., Гапенски  Л. Финансовый менеджмент: В 2 т. СПб., 1997.
  2. Капитоненко В. В. Финансовая математика и ее приложения. М., 1998.
  3. Кутуков В. Б. Основы финансовой и страховой математики. Методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем. М., 1998.
  4. Лукасевич И. Я. Анализ финансовых операций. Методы, модели, техника вычислений. М., 1998.
  5. Малыхин В. И. Финансовая математика. М., 1999.
  6. Уотшем Т. Дж., Паррамоу  К. Количественные методы в финансах. М., 1999.
  7. Чернов В. П. Математика для топ-менеджеров. СПб., 2002.
  8. Чернов В. П. Математические методы финансового анализа. СПб., 2005.
  9. Четыркин Е. М. Финансовый анализ производственных инвестиций. М., 1998.
  10. Четыркин Е. М. Финансовая математика. М., 2000.
Название работы Аннотация
 
Название презентации Аннотация
   
Название тьюториала Аннотация
   

Задача

Вкладчикжелает накопить в течение 5 лет 150 000 руб., производя  ежемесячные равные вложения по сложнойноминальной годовой ставке 12%. Определите сумму ежемесячного платежа как длявзносов конце месяца, проценты начисляются ежемесячно.

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт, вступайте в группу ВК.

Суммуежемесячного платежа в конце месяца можно найти из формулы для наращенной суммыренты постнумерандо:

100task.ru

Откудаискомая величина:

100task.ru

100task.ru

Подставляя числовые значения, получаем:

100task.ru

Ответ: сумма ежемесячного платежа составляет  1836.7 руб.

Если вам сейчас не требуется платная помощь, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт, вступайте в группу ВК.

На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Онлайн-помощь на экзамене/зачете (срок решения 1,5 часа и меньше) осуществляется по предварительной записи.

Заявку можно оставить прямо в чате ВКонтакте, WhatsApp или Telegram, предварительно сообщив необходимые вам сроки решения и скинув условие задач.

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...