Логарифмически-нормальное распределение Википедия

Логнормальное распределение. Совершенно та же Википедия. Только лучше.

Определение[править | править код]

Пусть распределение случайной величины X {displaystyle X} X задаётся плотностью вероятности, имеющей вид:

f X ( x ) = 1 x σ 2 π e − ( ln ⁡ x − μ ) 2 / 2 σ 2 , {displaystyle f_{X}(x)={frac {1}{xsigma {sqrt {2pi }}}}e^{-(ln x-mu )^{2}/2sigma ^{2}},}

{displaystyle f_{X}(x)={frac  {1}{xsigma {sqrt  {2pi }}}}e^{{-(ln x-mu )^{2}/2sigma ^{2}}},}

где x > 0 , σ > 0 , μ ∈ R {displaystyle x>0,;sigma >0,;mu in mathbb {R} } x>0,;sigma >0,;mu in {mathbb  {R}}. Тогда говорят, что X {displaystyle X} X имеет логнормальное распределение с параметрами μ {displaystyle mu } mu и σ {displaystyle sigma } sigma. Пишут: X ∼ L o g N ( μ , σ 2 )   {displaystyle Xsim mathrm {LogN} (mu ,sigma ^{2}) } Xsim {mathrm  {LogN}}(mu ,sigma ^{2}).

Логнормальное распределение в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Логнормального распределения имеется функция ЛОГНОРМ.РАСП() , английское название – LOGNORM.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности (см. формулу выше) и интегральную функцию распределения (вероятность, что случайная величина X, распределенная по логнормальному закону , примет значение меньше или равное x). Вычисления в последнем случае производятся по следующей формуле:

Логнормальное распределение имеет обозначение Ln N (μ; σ ).

Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL была функция ЛОГНОРМРАСП() , которая также позволяет вычислить кумулятивную (интегральную) функцию распределения , но не позволяет вычислить плотность вероятности . ЛОГНОРМРАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости. В файле примера на листе Пример приведены несколько альтернативных формул для вычисления плотности вероятности и интегральной функции распределения (использованы функции НОРМ.СТ.РАСП() и НОРМ.РАСП() .

Примечание : Для удобства написания формул в файле примера созданы Имена для параметровраспределения: μ и σ .

1.Биномиальный закон распределения.

   Биномиальный закон распределения описывает вероятность наступления события А m раз в n независимых испытаниях, при условии, что вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна.

Биномиальный закон распределения

   

   Например, отдел продаж магазина бытовой техники в среднем получает один заказ на покупку телевизоров из 10 звонков. Составить закон распределения вероятностей на покупку m телевизоров. Построить полигон распределения вероятностей.

    Пример биномиального распределения   График биномиального закона распределения
Рис.1    

   В таблице m – число заказов, полученных компанией на покупку телевизора. Сnm – число сочетаний m телевизоров по n, p – вероятность наступления события А, т.е. заказа телевизора, q – вероятность не наступления события А, т.е. не заказа телевизора, P m,n – вероятность заказа m телевизоров из n. На рисунке 1 изображен полигон распределения вероятностей.

 

Моделирование логнормальных случайных величин[править | править код]

Для моделирования обычно используется связь с нормальным распределением. Поэтому, достаточно сгенерировать нормально распределённую случайную величину, например, используя преобразование Бокса — Мюллера, и вычислить её экспоненту.

Вариации обобщение[править | править код]

Логнормальное распределение является частным случаем так называемого распределения Кэптейна[источник не указан 1785 дней].

Литература[править | править код]

  • Crow, Edwin L. & Shimizu, Kunio (Editors) (1988), Lognormal Distributions, Theory and Applications, vol. 88, Statistics: Textbooks and Monographs, New York: Marcel Dekker, Inc., с. xvi+387, ISBN 0-8247-7803-0 
  • Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957) The Lognormal Distribution, Cambridge University Press.
  • Limpert, E; Stahel, W; Abbt, M. Lognormal distributions across the sciences: keys and clues (англ.) // BioScience (англ.)русск. : journal. — 2001. — Vol. 51, no. 5. — P. 341—352. — doi:10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2.
  • Eric W. Weisstein et al. Log Normal Distribution at MathWorld. Electronic document, retrieved October 26, 2006.
  • Holgate, P. The lognormal characteristic function (неопр.) // Communications in Statistics – Theory and Methods. — 1989. — Т. 18, № 12. — С. 4539—4548. — doi:10.1080/03610928908830173.
  • Brooks, Robert; Corson, Jon; Donal, Wales (англ.)русск.. The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion (англ.) // Advances in Futures and Options Research : journal. — 1994. — Vol. 7.
Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...