Средняя хронологическая для моментного и интервального ряда. Задачи по статистике с решением и выводами онлайн

Работа по теме: 6. Средняя хронолог и гармонич. Глава: Средняя хронологическая. ВУЗ: МГЭИ.

Задача 1

Остаткиготовой продукции на складе составили, тыс.руб.:

Дата Остатки готовой продукции, тыс.руб.
01.04.2011 506
01.05.2011 519
01.06.2011 587
01.07.2011 624
01.08.2011 624
01.09.2011 545
01.10.2011 580
01.11.2011 542
01.12.2011 576
01.01.2012 606

Требуется:Определить   средние остатки готовойпродукции на складе за II квартал, за III квартал, за IV квартал, за второеполугодие 2011 года.

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт, вступайте в группу ВК.

Средниеостатки продукции можно вычислить по формуле средней хронологической, так какнам дан динамический моментный ряд сравноотстоящими интервалами.

100task.ru

Средниеостатки за 2-й квартал:

100task.ru

Средниеостатки за 3-й квартал:

100task.ru

Средниеостатки за 4-й квартал:

100task.ru

Средниеостатки готовой продукции за второе полугодие:

100task.ru

Вывод

Такимобразом средние остатки готовой продукции за 2-йквартал составили 557 тыс.р., за 3-й квартал 590,3 тыс.р., а за 4-й квартал 570,3 тыс.р.Средние остатки готовой продукции за 2-е полугодие составили 580,3 тыс.р.

Страницы

«Назад

|

Вперед »

Данные для расчета средней численности сотрудников компании “Бест”

Численность сотрудников компании «Бест», чел.(y)

Число календарных дней, в течение которых данная численность сотрудников оставалась безизменения (T)

Произведение численности сотрудников на число календарных дней(yT)

551

1

551

550

4

2200

574

10

5740

580

9

5220

570

7

3990

ИТОГО

31

17701

Используя данныепроизведенных расчетов, получим:

img-evXx2y.png

В отличие от первогоспособа расчета средней хронологиче­скоймоментного ряда второй способ даетточное значение средней.

Материалы сайта

Обращаем Ваше внимание на то, что все материалы опубликованы для образовательных целей.

(chronological mean)

– средняя, рассчитанная из значений, изменяющихся во времени. Используется для расчета среднего уровня моментного ряда. В том случае, если имеющиеся данные относятся к фиксированным моментам времени c равными интервалами, то используется следующая формула:

0.568C?OpenElement&FieldElemFormat=gif

Х – значение уровней ряда,

n – число имеющихся показателей.

Пример. Предположим, что на счете фирмы в банке были зафиксированы остатки средств на следующие даты в млн. руб.:

1.01.2010 1.02.2010 1.03.2010 1.04.2010 1.05.2010 1.06.2010 1.07.2010
128 144 155 161 147 154 158

Средний остаток средств на счете фирмы за рассматриваемый период составит:

0.7302?OpenElement&FieldElemFormat=gif

Средний уровень моментных рядов динамики с неравноотстоящими датами определяется по формуле средней хронологической взвешенной:
3.4DDC?OpenElement&FieldElemFormat=gif4.E46?OpenElement&FieldElemFormat=gifуровни рядов динамики

4.1836?OpenElement&FieldElemFormat=gif4.2026?OpenElement&FieldElemFormat=gif – длительность интервала времени между уровнями

Пример. Известна списочная численность рабочих организации на некоторые даты (человек) на:

01.01.2010 01.03.2010 01.06.2010 01.09.2010 01.01.2011
1100 1000 1150 1400 1250

Среднегодовая численность работников составит:

Понятие и виды средних величин

Средняя величина – это обобщающий показатель статистической совокупности, который погашает индивидуальные различия значений статистических величин, позволяя сравнивать разные совокупности между собой.

Существует 2 класса средних величин: степенные и структурные.

К структурным средним относятся мода и медиана, но наиболее часто применяются степенные средние различных видов.

Степенные средние величины

Степенные средние могут быть простыми и взвешенными.

Простая средняя величина рассчитывается при наличии двух и более несгруппированных статистических величин, расположенных в произвольном порядке по следующей общей формуле:

Общая формула простой степенной средней величины

Взвешенная средняя величина рассчитывается по сгруппированным статистическим величинам с использованием следующей общей формулы:

Общая формула взвешенной степенной средней величины

где X – значения отдельных статистических величин или середин группировочных интервалов;

m – показатель степени, от значения которого зависят следующие

виды степенных средних величин

:

при m = -1

средняя гармоническая

;

при m = 0

средняя геометрическая

;

при m = 1

средняя арифметическая

;

при m = 2

средняя квадратическая

;

при m = 3

средняя кубическая

.

Используя общие формулы простой и взвешенной средних при разных показателях степени m, получаем частные формулы каждого вида, которые будут далее подробно рассмотрены.

Средняя арифметическая

Средняя арифметическая – это самая часто используемая средняя величина, которая получается, если подставить в общую формулу m=1. Средняя арифметическая простая имеет следующий вид:

средняя арифметическая простая

где X – значения величин, для которых необходимо рассчитать среднее значение; N – общее количество значений X (число единиц в изучаемой совокупности).

Например, студент сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5. Рассчитаем средний балл по формуле средней арифметической простой: (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4.

Средняя арифметическая взвешенная имеет следующий вид:

средняя арифметическая взвешенная

где f – количество величин с одинаковым значением X (частота).

Например, студент сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5. Рассчитаем средний балл по формуле средней арифметической взвешенной: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4.

Если значения X заданы в виде интервалов, то для расчетов используют середины интервалов X, которые определяются как полусумма верхней и нижней границ интервала. А если у интервала X отсутствует нижняя или верхняя граница (открытый интервал), то для ее нахождения применяют размах (разность между верхней и нижней границей) соседнего интервала X.

Например, на предприятии 10 работников со стажем работы до 3 лет, 20 – со стажем от 3 до 5 лет, 5 работников – со стажем более 5 лет. Тогда рассчитаем средний стаж работников по формуле средней арифметической взвешенной, приняв в качестве X середины интервалов стажа (2, 4 и 6 лет):
(2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3,71 года.

Средняя арифметическая применяется чаще всего, но бывают случаи, когда необходимо применение других видов средних величин. Рассмотрим такие случаи далее.

Средняя гармоническая

Средняя гармоническая применяется, когда исходные данные не содержат частот f по отдельным значениям X, а представлены как их произведение Xf. Обозначив Xf=w, выразим f=w/X, и, подставив эти обозначения в формулу средней арифметической взвешенной, получим формулу средней гармонической взвешенной:

средняя гармоническая взвешенная

Таким образом, средняя гармоническая взвешенная применяется тогда, когда неизвестны частоты f, а известно w=Xf. В тех случаях, когда все w=1, то есть индивидуальные значения X встречаются по 1 разу, применяется формула средней гармонической простой:

средняя гармоническая простая

Например, автомобиль ехал из пункта А в пункт Б со скоростью 90 км/ч, а обратно – со скоростью 110 км/ч. Для определения средней скорости применим формулу средней гармонической простой, так как в примере дано расстояние w1=w2 (расстояние из пункта А в пункт Б такое, же как и из Б в А), которое равно произведению скорости (X) на время (f). Средняя скорость = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 км/ч.

Средняя геометрическая

Средняя геометрическая применяется при определении средних относительных изменений, о чем сказано в теме Ряды динамики. Геометрическая средняя величина дает наиболее точный результат осреднения, если задача стоит в нахождении такого значения X, который был бы равноудален как от максимального, так и от минимального значения X.

средняя геометрическая

Например, в период с 2005 по 2008 годы индекс инфляции в России составлял: в 2005 году – 1,109; в 2006 – 1,090; в 2007 – 1,119; в 2008 – 1,133. Так как индекс инфляции – это относительное изменение (индекс динамики), то рассчитывать среднее значение нужно по средней геометрической: (1,109*1,090*1,119*1,133)^(1/4) = 1,1126, то есть за период с 2005 по 2008 ежегодно цены росли в среднем на 11,26%. Ошибочный расчет по средней арифметической дал бы неверный результат 11,28%.

Средняя квадратическая

Средняя квадратическая применяется в тех случая, когда исходные значения X могут быть как положительными, так и отрицательными, например при расчете средних отклонений.

средняя квадратическая

Главной сферой применения квадратической средней является измерение вариации значений X, о чем пойдет речь позднее в этой лекции.

Средняя кубическая

Средняя кубическая применяется крайне редко, например, при расчете индексов нищеты населения для развивающихся стран (ИНН-1) и для развитых (ИНН-2), предложенных и рассчитываемых ООН.

средняя кубическая

Структурные средние величины

К наиболее часто используемым структурным средним относятся статистическая мода и статистическая медиана.

Статистическая мода

Статистическая мода – это наиболее часто повторяющееся значение величины X в статистической совокупности.

Если X задан дискретно, то мода определяется без вычисления как значение признака с наибольшей частотой. В статистической совокупности бывает 2 и более моды, тогда она считается бимодальной (если моды две) или мультимодальной (если мод более двух), и это свидетельствует о неоднородности совокупности.

Например, на предприятии работает 16 человек: 4 из них – со стажем 1 год, 3 человека – со стажем 2 года, 5 – со стажем 3 года и 4 человека – со стажем 4 года. Таким образом, модальный стаж Мо=3 года, поскольку частота этого значения максимальна (f=5).

Если X задан равными интервалами, то сначала определяется модальный интервал как интервал с наибольшей частотой f. Внутри этого интервала находят условное значение моды по формуле:

формула моды

где Мо – мода;

Х

НМо

– нижняя граница модального интервала;

h

Мо

– размах модального интервала (разность между его верхней и нижней границей);

f

Мо

– частота модального интервала;

f

Мо-1

– частота интервала, предшествующего модальному;

f

Мо+1

– частота интервала, следующего за модальным.

Например, на предприятии 10 работников со стажем работы до 3 лет, 20 – со стажем от 3 до 5 лет, 5 работников – со стажем более 5 лет. Рассчитаем модальный стаж работы в модальном интервале от 3 до 5 лет: Мо = 3 + 2*(20-10)/(2*20-10-5) = 3,8 (года).

Если размах интервалов h разный, то вместо частот f необходимо использовать плотности интервалов, рассчитываемые путем деления частот f на размах интервала h.

Статистическая медиана

Статистическая медиана – это значение величины X, которое делит упорядоченную по возрастанию или убыванию статистическую совокупность на 2 равных по численности части. В итоге у одной половины значение больше медианы, а у другой – меньше медианы.

Если X задан дискретно, то для определения медианы все значения нумеруются от 0 до N в порядке возрастания, тогда медиана при четном числе N будет лежать посередине между X c номерами 0,5N и (0,5N+1), а при нечетном числе N будет соответствовать значению X с номером 0,5(N+1).

Например, имеются данные о возрасте студентов-заочников в группе из 10 человек – X: 18, 19, 19, 20, 21, 23, 23, 25, 28, 30 лет. Эти данные уже упорядочены по возрастанию, а их количество N=10 – четное, поэтому медиана будет находиться между X с номерами 0,5*10=5 и (0,5*10+1)=6, которым соответствуют значения X5=21 и X6=23, тогда медиана: Ме = (21+23)/2 = 22 (года).

Если X задан в виде равных интервалов, то сначала определяется медианный интервал (интервал, в котором заканчивается одна половина частот f и начинается другая половина), в котором находят условное значение медианы по формуле:

формула медианы

где Ме – медиана;

Х

НМе

– нижняя граница медианного интервала;

h

Ме

– размах медианного интервала (разность между его верхней и нижней границей);

f

Ме

– частота медианного интервала;

знак суммы

f

Ме-1

– сумма частот интервалов, предшествующих медианному.

В ранее рассмотренном примере при расчете модального стажа (на предприятии 10 работников со стажем работы до 3 лет, 20 – со стажем от 3 до 5 лет, 5 работников – со стажем более 5 лет) рассчитаем медианный стаж. Половина общего числа работников составляет (10+20+5)/2 = 17,5 и находится в интервале от 3 до 5 лет, а в первом интервале до 3 лет – только 10 работников, а в первых двух – (10+20)=30, что больше 17,5, значит интервал от 3 до 5 лет – медианный. Внутри него определяем условное значение медианы: Ме = 3+2*(0,5*30-10)/20 = 3,5 (года).

Также как и в случае с модой, при определении медианы если размах интервалов h разный, то вместо частот f необходимо использовать плотности интервалов, рассчитываемые путем деления частот f на размах интервала h.

Задача 2

Известныследующие данные об изменениях в списочном составе работников банка за январь,человек.

  Число сотрудников
Состояло по списку на 1 января 205
на 9 января 200
на 12 января 198
на 16 января 201
на 19 января 197
на 27 января 199
Состояло по списку на 1 февраля 199

Определитесреднюю списочную численность работников банка в январе.

Решение

Данныйдинамический ряд моментный, с неравноотстоящими датами.

Средняяхронологическая взвешенная:

100task.ru

100task.ru

Вывод

Среднесписочнаячисленность работников банка в январе составила 200,2 чел.

Партнеры сайта

_________________________________

Средняя арифметическая

В |В 

Средняя гармоническая

В |В 

Средняя квадратическая

В |В 

Средняя хронологическая

В |В 

Средняя геометрическая

Формулой средней хронологической пользуютсяв случае если известны значения осредняемого признаказа несколько равноотстающих дат внутри определенноговременного периода.

image002.pngВ 

image004.png значение признака в iыймомент времени

Пример:

Дата

Количество рабочих, чел

1 января

121

1 февраля

125

1 марта

130

1 апреля

119

Средняя численность рабочих за первый квартал:

image006.pngВ 

Простая хронологическая средняя

Если интервалы между наблюдениями расположены через равные промежутки времени — то формула простой хронологической средней:

где, chart?cht=tx&chl=H_1, chart?cht=tx&chl=H_3, и chart?cht=tx&chl=H_3 — численность населения на каждую дату.

Пример

Численность населения:

  • на 1 января 2008 года — 4836 тыс.чел.
  • на 1 апреля 2008 года — 4800 тыс.чел.
  • на 1 июля 2008 года — 4905 тыс.чел.
  • на 1 октября 2008 года — 4890 тыс.чел.
  • на 1 января 2009 года — 4805 тыс.чел.

Определить среднюю численность населения за год.

Решение

1. Сумму крайних интервалов поделенных на два и внутренних интервалов делим на количество дат отчетности минус один.

СЧН = chart?cht=tx&chl=%20%5Cfrac%20%7B%20%5Cfrac%7B4836%7D%7B2%7D%20%2B%204800%20%2B%204905%20%2B%204890%20%2B%20%5Cfrac%7B4805%7D%7B2%7D%20%7D%7B4%7D%20=%204854

Средняя гармоническая (сг).

СГ применяетсяв тех случаях, когда частоты (веса) неприводятся непосредственно, а входятсомно­жителями в один из имеющихсяпоказателей.

Пример. Автомобильдоставил товары в три магазина фирмы”Весна”, которые удалены от головногопредприятия на одинаковое расстояние.Так, до первого магазина, расположенногона шоссейной дороге, автомобиль прошелпуть со скоростью 50 км/ч, до второго, попроселочной дороге, — 40 км/ч, а в третьемслучае автомобилю пришлось полпутипройти через лесной массив, и скоростьдвижения составила только 30 км/ч.

Требуется определитьсреднюю скорость движения автомобиля.На первый взгляд представляется, чтосредняя скорость • движения может бытьопределена по формуле простойарифметической:

img-Dk6ohO.png

Однако нетрудноубедиться, что средняя вычисленанепра­вильно. В самом деле, производярасчет средней скорости по про­стойарифметической средней, исходим изтого, что автомобиль во всех трех случаяхпрошел одинаковое расстояние, пройдясоответ­ственно 50, 40 и 30 км, т. е. всего120 км. Если бы условие этой за­дачибыло сформулировано в такой форме, тосредняя была бы рас­считана правильнои характеризовала бы пройденноеавтомобилем среднее расстояние.

В действительностиже эта средняя рассчитана неверно, таккак «в условия задачи не следует, чтоавтомобиль на преодоление рас­стояниядо трех магазинов фирмы “Весна”проехал 120 км, так как Скорость движениябыла различная. Следовательно, он прошели разное расстояние.

В тех случаях,когда вес каждого варианта равен единице(индивидуальные значения обратногопризнака встречаются по одному разу),применяется СГпростая,ис­числяемая по формуле:

img-oBiMr6.png

где x – отдельные варианты обратного признака, встречающиеся по одному разу; n– число вариантов.

(8)

img-rbFKxH.pngилив сокращенном виде img-KLqyEl.png

где img-klken5.png—средняягармоническая; img-hxoqOm.png—числа, обратные заданным вариантам.

Иначе говоря, СГпростая отношение числа вариантов к суммеобратных значений этих вариантов.

Для нашего примерабудем иметь:

img-d1nriP.png

В нашем примереСА а)оказаласьбольше средней гармонической img-IUMVLD.png.

При этом абсолютнаяошибка завышения составляет— 2 км/ч (38 – 40), а относительная —5% img-bvhK8Z.png

Т.о., неправильноеиспользование СА привело бы к завышениюсредней скорости движения автомобиляи к неправильному определению объемаперевозок. Это еще раз доказывает, скакой осторожностью следует решатьвопрос о том, какую среднюю надлежитприменять в экономических расчетах.

В рассмотренномпримере частоты (веса) имели одно значениеи равнялись единице. Если же частоты(веса) различные, то применяется СГвзвешенная, котораявычисляется следующим образом:

img-p7b6JV.pngimg-jDHdOT.png

Где img-oO3waR.png-СГ взвешенная:

Как первая, так ивторая формулы показывают, что СГ естьвеличина обратная СА.

Веса арифметическойсредней и гармонической среднейобо­значены разными буквами: fи m.Это не случайно, так как весами СА служатчастоты рассматриваемого ряда, а весамиСГ будет произведение вариантов навеса.

Пример.Рассмотрим данные о реализации товаровпо двум магазинам фирмы “Весна”(табл. 6). Таблица.6

Задача 3

Имеютсяследующие данные о производстве молока в России за 1995-2000 годы  (млн.т.)

1995 1996 1997 1998 1999 2000
39.2 35.8 34.1 33.3 32.3 32.3

Дляанализа ряда динамики определите средний уровень ряда динамики.

Решение

Таккак данный динамический ряд интервальный,с равноотстоящими уровнями, то средний уровень исследуемого динамическогоряда найдем по формуле средней арифметической:

100task.ru

Вывод

Среднегодовоепроизводство молока в исследуемом периоде составило 34,5 млн. тонн.

меню пользователя

Логин:
Пароль:
Запомнить
Регистрация
Забыли пароль?

Не зарегистрирован

Р’С…РѕРґ
Забыли пароль?
Регистрация

Хронологическая взвешенная

В случае если замеры численности населения проводились через неравные промежутки времени то — по формуле хронологической взвешенной:

chart?cht=tx&chl=%20%5Coverline%20%7BH%7D%20=%20%5Cfrac%20%7B%5CSigma%20%5Coverline%20%7BH_i%7D*t_i%7D%7B%20%5CSigma%20t_i%7D

где:

Например возьмём промежутки равными месяцам.

СЧН = chart?cht=tx&chl=%20%5Cfrac%20%7B%20%5Cfrac%7B4836%2B4800%7D%7B2%7D*3%20%2B%20%5Cfrac%7B4800%2B4905%7D%7B2%7D*3%20%2B%20%5Cfrac%7B4905%2B4890%7D%7B2%7D*3%20%2B%20%5Cfrac%7B4890%2B4805%7D%7B2%7D*3%20%7D%7B12%7D%20=%204854

Ответ: 4854 чел.

Новости

30.11.16В 

Свойства треугольников 

17.03.15В 

Новые материалы на сайте 

25.03.14В 

Новые разделы на сайте 

29.08.13В 

С новым учебным годом! 

05.05.13В 

Новые разделы на сайте 

rss.gif

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...